Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn), 的周長(zhǎng)為.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn) (-4,0)任作一動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn),記,若在線段上取一點(diǎn),使得,則當(dāng)直線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)在某一定直線上運(yùn)動(dòng),求該定直線的方程．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 點(diǎn)在定直線上.

【解析】試題分析: (1)由已知條件求出 的值, 根據(jù) ,求出橢圓的方程; (2)設(shè)直線 聯(lián)立直線與橢圓方程, 求出 的表達(dá)式,將 由 表示出來(lái)，由,求出 的表達(dá)式,化簡(jiǎn),求出為定值.

試題解析: (Ⅰ)因?yàn)?/span>的周長(zhǎng)為,

所以,即.

又離心率,解得,

.

所以橢圓的方程為.

(Ⅱ)由題意可知,直線的斜率必存在.

故可設(shè)直線的方程為,

由,消去得,

由根與系數(shù)的關(guān)系得,

由,得

所以.

所以,

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,

由,得,

所以,

解得.

而,

,

所以.

故點(diǎn)在定直線上.

點(diǎn)睛: 本題主要考查了以橢圓為載體,求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程以及橢圓與直線的關(guān)系 ,屬于中檔題. 考點(diǎn)有: 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),韋達(dá)定理,向量坐標(biāo)運(yùn)算等等. 考查學(xué)生的邏輯思維能力,運(yùn)算求解能力.