Question

【題目】如圖（1），在矩形中，已知分別為和的中點(diǎn)，對角線與交于點(diǎn)，沿把矩形折起，使兩個半平面所成二面角為60°，如圖（2）.

（1）求證：；

（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題（1）依題意可知，利用勾股定理分別求出，再利用勾股定理證明三角形是直角三角形，所以；（2）過作，連接，易證得為與平面所成的角，由此求得與平面所成角的正弦值為.

試題解析：

（1）證明 ：翻折前，由于是矩形的邊和的中點(diǎn)，所以，折疊后垂直關(guān)系不變，所以是兩個半平面所成二面角的平面角，所以．

連接，由，可知是正三角形，所以，

在中，，所以，由題可知，由勾股定理可知三角形是直角三角形，所以．

（2）設(shè)分別是的中點(diǎn)，連接，又，所以，則，

又，所以平面．

又，所以，又，所以平面．又平面，所以平面平面．

過作，由面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，連接，則是在平面的投影，所以為與平面所成的角.

又是斜邊上的高，所以，又，所以．

故與平面所成角的正弦值為．