Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面 平面，四邊形為正方形，△為等邊三角形，是中點，平面與棱交于點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（III）記四棱錐的體積為，四棱錐的體積為，直接寫出的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】

（Ⅰ）由為正方形，可得．再由線面平行的判定可得平面.．再由面面平行的性質可得；
（Ⅱ）由為正方形，可得．結合面面垂直的性質可得平面．從而得到.．再由已知證得．由線面垂直的判定可得平面；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，利用等積法把用表示，則的值可求．

（I）證明：因為正方形，所以.

因為平面，平面，

所以平面.

因為平面，平面平面，

所以.

（II）證明：因為正方形，所以.

因為平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

因為平面，

所以.

因為為等邊三角形，是中點，

所以.

因為平面，平面，，

所以平面.

（III）解：由（Ⅰ）知，

則

．