Question

已知函數(shù)．
（1）當時，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設g（x）=x²-2bx+4，當，若對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）+g（x₂）≤0，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）．（2分）
①當，即時，此時f（x）的單調(diào)性如下：

x	（0，1）	1	（1，）		（）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	增		減		增

（4分）
②當a=0時，，當0＜x＜1時f（x）遞增；
當x＞1時，f（x）遞減；（5分）
③當a＜0時，，當0＜x＜1時f（x）遞增；
當x＞1時，f（x）遞減；（6分）
綜上，當a≤0時，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)；
當時，f（x）在（0，1），（）上是增函數(shù)，
在（1，）上是減函數(shù)．（7分）
（2）由（1）知，當時，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，2）上是減函數(shù)．
于是x₁∈（0，2）時，．（8分）
從而存在x₂∈[1，2]，
使g（x₂）=（10分）
考察g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]的最小值．
①當b≤1時，g（x）在[1，2]上遞增，[g（x）]_min=（舍去）..（11分）
②當b≥2時，，g（x）在[1，2]上遞減，
∴..（12分）
③當1＜b＜2時，，無解．（13分）
綜上（14分）
分析：（1）先對函數(shù)y=f（x）進行求導，然后令導函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案．
（2）由（1）知，當時，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，2）上是減函數(shù)．于是x₁∈（0，2）時，從而存在x₂∈[1，2]，使g（x₂）=x₂²-2bx₂+4，且下面考查g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]的最小值．對字母b進行分類討論：①當b≤1時，②當b≥2時，③當1＜b＜2時，即可求得實數(shù)b的取值范圍．
點評：本題主要考查導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用及導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．屬于基礎題．