Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)求證：；

(2)用表示中的最大值，記，討論函數(shù)零點的個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析，（2）見解析

【解析】

(1) 設(shè)求出函數(shù)的最小值即可；

(2) 對x和a的范圍進(jìn)行討論，得出f（x），g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，利用單調(diào)性及最值判斷f（x），g（x）的零點個數(shù)，從而得出h（x）的零點個數(shù)．

（1）證明：設(shè)，定義域為，

則.

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

故在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，

所以是的極小值點，也是的最小值點，

所以，所以

（2）解：函數(shù)的定義域為，

，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，

所以是的極小值點，也是的最小值點，

即

若，則，

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

當(dāng)時，.

所以，于是只有一個零點.

當(dāng)，則當(dāng)時，，此時，

當(dāng)時，，，此時

所以沒有零點.

當(dāng)，則當(dāng)時，根據(jù)（1）可知，

而，所以

又因為，所以在上有一個零點，

從而一定存在，使得，

即，所以.

當(dāng)時，，

所以，從而，

于是有兩個零點和1.

故當(dāng)時，有兩個零點.

綜上，當(dāng)時，有一個零點，當(dāng)時，沒有零點，當(dāng)時，有兩個零點.