Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)求證：；

(2)用表示中的最大值，記，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析，（2）見(jiàn)解析

【解析】

(1) 設(shè)求出函數(shù)的最小值即可；

(2) 對(duì)x和a的范圍進(jìn)行討論，得出f（x），g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，利用單調(diào)性及最值判斷f（x），g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得出h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

（1）證明：設(shè)，定義域?yàn)?/span>，

則.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

故在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，

所以是的極小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，

所以，所以

（2）解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，

所以是的極小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，

即

若，則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

所以，于是只有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)

所以沒(méi)有零點(diǎn).

當(dāng)，則當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）可知，

而，所以

又因?yàn)?/span>，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，

從而一定存在，使得，

即，所以.

當(dāng)時(shí)，，

所以，從而，

于是有兩個(gè)零點(diǎn)和1.

故當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).