Question

14．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點F₁的直線l與E的左支交于P，Q兩點，若|PF₁|=2|F₁Q|，且F₂Q⊥PQ，則E的離心率是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{15}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{17}}{3}$

Answer 1

分析 可設(shè)|F₁Q|=m，可得|PF₁|=2m，由雙曲線定義可得|PF₂|-|PF₁|=2a，|QF₂|-|QF₁|=2a，求得|PF₂|=2a+2m，|QF₂|=m+2a，再分別在直角三角形PQF₂中，直角三角形F₁QF₂中，運用勾股定理和離心率公式，化簡整理，即可得到所求值．

解答 解：若|PF₁|=2|F₁Q|，且F₂Q⊥PQ，
可設(shè)|F₁Q|=m，可得|PF₁|=2m，
由雙曲線定義可得|PF₂|-|PF₁|=2a，
|QF₂|-|QF₁|=2a，
即有|PF₂|=2a+2m，
|QF₂|=m+2a，
在直角三角形PQF₂中，
可得|PQ^|2+|QF₂|²=|PF₂|²，
即為（3m）²+（m+2a）²=（2a+2m）²，
化簡可得2a=3m，即m=$\frac{2}{3}$a，
再由直角三角形F₁QF₂中，
可得|F₂Q^|2+|QF₁|²=|F₁F₂|²，
即為（2a+m）²+m²=（2c）²，
即為$\frac{64}{9}$a²+$\frac{4}{9}$a²=4c²，
即$\frac{17}{9}$a²=c²，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要是求雙曲線的離心率，注意運用定義法和直角三角形的勾股定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．