Question

19．已知函數(shù)f（x）=cos2x+2$\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）把函數(shù)化成f（x）=Asin（ωx+φ）的形式；
（2）求函數(shù)的最小正周期；
（3）求函數(shù)的最大值與最小值及取得最大值與最小值時x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由倍角公式和兩角和的正弦函數(shù)公式化簡即可得解．
（2）利用正弦函數(shù)的周期公式即可求解．
（3）由2x+$\frac{π}{6}$=2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函數(shù)的最大值與取得最大值x的取值范圍．由2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可解得函數(shù)的最小值與取得最小值x的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=cos2x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（3）當2x+$\frac{π}{6}$=2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，即：x∈{x/x=k$π+\frac{π}{6}$，k∈Z}時，函數(shù)的最大值為2；
當2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即：x∈{x/x=k$π+\frac{2π}{3}$，k∈Z}時，函數(shù)的最大值為-2；

點評 本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質，屬于基本知識的考查．