Question

16．求（$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{x}$+$\sqrt{2}$）⁵展開式的常數(shù)項．

Answer 1

分析 展開式的常數(shù)項有3種構(gòu)成：（1）5個括號都出$\sqrt{2}$，（2）5個括號中有2個出$\frac{x}{2}$，2個出$\frac{1}{x}$，1個出$\sqrt{2}$，（3）5個括號中有1個出$\frac{x}{2}$，1個出$\frac{1}{x}$，3個出$\sqrt{2}$，計算各自結(jié)果相加可得．

解答 解：由題意可知展開式的常數(shù)項有3種構(gòu)成，
（1）5個括號都出$\sqrt{2}$，結(jié)果為（$\sqrt{2}$）⁵=4$\sqrt{2}$；
（2）5個括號中有2個出$\frac{x}{2}$，2個出$\frac{1}{x}$，1個出$\sqrt{2}$，
結(jié)果為${C}_{5}^{2}{×C}_{3}^{2}×\sqrt{2}$×$（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$；
（3）5個括號中有1個出$\frac{x}{2}$，1個出$\frac{1}{x}$，3個出$\sqrt{2}$，
結(jié)果為${C}_{5}^{1}×{C}_{4}^{1}×（\sqrt{2}）^{3}$×$\frac{1}{2}$=20$\sqrt{2}$，
綜合可得常數(shù)項為4$\sqrt{2}$+$\frac{15\sqrt{2}}{2}$+20$\sqrt{2}$=$\frac{63\sqrt{2}}{2}$

點評 本題考查二項式定理的應(yīng)用，涉及分類討論的思想，屬中檔題．