Question

如果一條直線和兩個平面中的一個相交，那么它和另一個平面也相交．

已知：α∥β，l∩α＝A．

求證：l與β相交．

Answer 1

答案：
解析：

證明：∵α∥β，l∩α＝A 　　∴Aβ． 　　假設l與β不相交，則l∥β 　　在平面β內任取一點D，則Dl． 　　∴點D、l確定平面PBD，如圖 　　∵α與平面PBD相交于過A的一條直線AC， 　　β與平面PBD相交于過點D的一條直線BD． 　　又α∥β∴AC與BD無公共點． 　　∵AC和BD都在平面PBD內， 　　∴AC∥BD． 　　由l∥β可知l∥BD． 　　∴AC∥l且l與AC相交于A． 　　∴AC與l重合，又AC在平面α內． 　　∴l在α內與l∩α＝A矛盾． 　　∴假設不成立， 　　∴l與β必相交．