Question

【題目】已知函數的圖象上有一點列，點在軸上的射影是，且 (且)， .

(1)求證： 是等比數列，并求出數列的通項公式；

(2)對任意的正整數，當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

(3)設四邊形的面積是，求證： .

Answer 1

【答案】(1) ， ;(2) ;(3) 見解析;

【解析】試題分析：(1)利用等比數列定義證明;(2) 不等式恒成立，即求的最大值，利用單調性，求出最值，進而轉化為，對任意恒成立問題;(3)利用裂項相消法化簡不等式的左側即可.

試題解析：

(1)解：由 (且)得 (且)

∵，∴，∴，(且)

∴是首項為3，公比為3的等比數列.

∴.

∴， .

(2)∵，

∵， ，又，

∴故數列單調遞減，(此處也可作差證明數列單調遞減)

∴當時， 取得最大值為.

要使對任意的正整數，當時，不等式恒成立，

則須使，即，對任意恒成立，

∴，解得或，

∴實數的取值范圍為.

(3) ，而，

∴四邊形的面積為

，

∴故.