Question

10．函數(shù)f（x）=ax³-x²+x-6在（-∞，+∞）上既有極大值又有極小值，則a的取值范圍為（　�。�

• A． a＞0
• B． a＜0
• C． $a＞\frac{1}{3}$
• D． $a＜\frac{1}{3}$且a≠0

Answer 1

分析 求出導函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間（-∞，+∞）內既有極大值，又有極小值，導函數(shù)為0的方程有不等的實數(shù)根，可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=ax³-x²+x-6，
則導函數(shù)：f′（x）=3ax²-2x+1，
∵函數(shù)f（x）=ax³-x²+x-6既有極大值又有極小值，
∴a≠0，且△=4-12a＞0，∴a＜$\frac{1}{3}$且a≠0．
故選：D．

點評 本題的考點是函數(shù)在某點取得極值的條件，主要考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，關鍵是將問題轉化為導函數(shù)為0的方程有不等的實數(shù)根．