Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）是否存在實數(shù),使得函數(shù)在上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，極小值為.（2）見解析.

【解析】試題分析：

(1)首先對函數(shù)求導，然后結(jié)合導函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，極小值為

(2)由題意結(jié)合(1)的結(jié)論分類討論可得不存在滿足題意的實數(shù)a.

試題解析：

由題意知， .

（1）由得，解得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；

由得，解得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是.當時，函數(shù)有極小值為.

（2）由（1）可知，當時， 單調(diào)遞減，當時， 單調(diào)遞增.

①若，即時，函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)的最小值為，顯然，故不滿足條件.

②若，即時，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故函數(shù)的最小值為，即，解得，而，故不滿足條件.

③若，即時，函數(shù)在在上為減函數(shù)，故函數(shù)的最小值為，即，而不滿足條件，綜上所述，這樣的不存在.