Question

已知函數(shù)．
(1)若曲線在x=l和x=3處的切線互相平行，求a的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為. （2）.

解析試題分析：（1）首先依題意求得，確定函數(shù)的解析式，
進(jìn)一步求導(dǎo)數(shù)：，求駐點(diǎn)，分區(qū)間討論導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，確定得到單調(diào)區(qū)間.
（2）將問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化：若要命題成立，只須當(dāng)時(shí)，.
由可知， 當(dāng)時(shí),
所以只須.
問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成確定的最大值，注意到，
分時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，分別討論.
試題解析：（1），
由得，  3分
所以：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為，，
單調(diào)遞減區(qū)間為.       6分
（2）若要命題成立，只須當(dāng)時(shí)，.
由可知， 當(dāng)時(shí),
所以只須.     8分
對(duì)來(lái)說(shuō)，，
①當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，顯然，滿足題意，
當(dāng)時(shí)，令，
，所以遞減，所以，滿足題意，
所以滿足題意；     10分
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以得 ，  12分
綜上所述，.     13分
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值.