Question

【題目】已知四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為直角梯形，CD⊥平面ABC，側面ABC是等腰直角三角形，∠EBC=∠ABC=90°，BC=CD=2BE=2，點M是棱AD的中點

(I)證明:平面AED⊥平面ACD;

(Ⅱ)求銳二面角B-CM-A的余弦值

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（1）平面ACD，又EM//BF，所以平面ACD，所以平面平面；（2）建立空間直角坐標系，求得兩個法向量,，求出二面角。

試題解析：

（I）證明：取AC的中點F，連接BF，

因為AB＝BC，所以， 平面ABC,所以CD .

又所以平面ACD.①

因為AM=MD，AF=CF，所以.

因為 ，所以//MF，

所以四邊形BFME是平行四邊形.所以EM//BF.②

由①②,得平面ACD，所以平面平面；

（II）BE平面ABC，

又，

以點B為原點，直線BC、BA、BE分別為x,y,z軸，

建立空間直角坐標系B-xyz.

由，得B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，D(2,0,2).

由中點坐標公式得， ,，

設向量為平面BMC的一個法向量，則即

令y=1,得x=0，z=－1，即,

由（I）知， 是平面ACD的一個法向量.

設二面角B－CM－A的平面角為，

則，

又二面角B－CM－A為銳二面角，故.