Question

【題目】已知點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn).當(dāng)的面積最大時(shí)，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】(1) .（2） 或.

【解析】試題分析：（1）由條件知a=2b，,又,可得a,b，故得到E的方程；

（2）設(shè)出直線(xiàn)l的方程和點(diǎn)P的坐標(biāo)，聯(lián)立直線(xiàn)l與橢圓方程，當(dāng)判別式大于0時(shí)，根據(jù)韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系得到的長(zhǎng)。根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式代入面積中，得到其關(guān)于k的表達(dá)式，根據(jù)換元法和基本不等式即可得到當(dāng)面積取得最大值時(shí)k的值，即求得l的方程.

試題解析：(1) 設(shè)F(c,0)，由條件知a=2b，得,又，

所以a=2， ,故的方程.

（2）依題意當(dāng)軸不合題意，故設(shè)直線(xiàn)l：y=kx-2，設(shè)

將y=kx-2代入，得，

當(dāng)，即時(shí)，,

從而,

又點(diǎn)O到直線(xiàn)PQ的距離，所以OPQ的面積

，

設(shè)，則t>0，，

當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，且滿(mǎn)足，

所以當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，

的方程為： 或.