Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax²-x+4．
（1）若函數(shù)g（x）=lgf（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=x²-（a+2）x-2（a+4），若存在兩個(gè)非負(fù)整數(shù)m，n（0≤m＜n），使得函數(shù)f（x）與h（x）在區(qū)間（m，n）上恒有f（x）＜0且h（x）＜0成立，求n的最大值，及n取最大值時(shí)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)g（x）=lgf（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，則函數(shù)f（x）=ax²-x+4在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，且f（x）=ax²-x+4＞0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若存在兩個(gè)非負(fù)整數(shù)m，n（0≤x＜n），使得函數(shù)f（x）與h（x）在區(qū)間（m，n）上恒有f（x）＜0且h（x）＜0成立，由h（x）＜0的解集為N=（0，a+4），令f（x）=ax²-x+4＜0的解集為M，則：（m，n）⊆M∩N，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類(lèi)討論滿(mǎn)足條件的a的范圍，結(jié)合n為整數(shù)，可得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)g（x）=lgf（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）=ax²-x+4在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，且f（x）=ax²-x+4＞0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ \frac{1}{2a}≤1\\ a-1+4＞0\end{array}\right.$，
解得：a$≥\frac{1}{2}$
（2）解h（x）=x²-（a+2）x-2（a+4）=0得，x=a+4，或a=-2，
當(dāng)a+4≤0時(shí)，函數(shù)h（x）＞0在[m，n]上恒成立不滿(mǎn)足要求；
∴a+4＞0，即a＞-4，
即h（x）＜0的解集為N=（0，a+4），
令f（x）=ax²-x+4＜0的解集為M，
則由題意可得：（m，n）⊆M∩N，
①當(dāng)a＜0時(shí)，
∵f（0）=4＞0，故f（a+4）=a（a+4）²-（a+4）+4＜0．
即a＞-3，或a＜-5，
又由a＞-4，
∴-3＜a＜0，
此時(shí)n≤a+4＜4，
∴m＜n＜4，
當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}-3＜a＜0\\ 3≤a+4＜4\\ f（2）=4a+2≤0\end{array}\right.$，即-1≤a≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，n的最大值為3；
②當(dāng)a=0時(shí)，M∩N=∅，不合題意；
③當(dāng)a＞0時(shí)，
∵f（0）=4＞0，故f（a+4）=a（a+4）²-（a+4）+4＞0，
故$\left\{\begin{array}{l}0＜\frac{1}{2a}＜a+4\\△=1-16a＞0\end{array}\right.$，此時(shí)不存在滿(mǎn)足條件的a值，
綜上，n的最大值為3，a的取值范圍為：-1≤a≤-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，恒成立問(wèn)題，分類(lèi)討論思想，難度中檔．