Question

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且直線的傾斜角為，，已知橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為橢圓上異于的兩點(diǎn)，若直線的斜率等于直線斜率的倍，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)離心率可求得，利用橢圓定義和余弦定理可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而確定，由此得到橢圓方程；

（2）設(shè)方程為，將直線與橢圓方程聯(lián)立，可結(jié)合韋達(dá)定理求得點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)坐標(biāo)，由整理可得關(guān)于的函數(shù)的形式，利用對號(hào)函數(shù)可求得的最大值.

（1）橢圓的離心率，，

設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接，則，

在中，由余弦定理得：，

即，又 解得：，，，橢圓的方程為.

（2）由（1）知：，，

設(shè)直線斜率為，則直線方程為，

由得：，

則，

設(shè)，則，，，，

由可得直線方程為，

同理可求得：，

由對稱性，不妨設(shè)，則四邊形的面積：

，

令，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），

，的最大值為.