Question

【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為， 為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程和離心率.

（2）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在軸上，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)在軸的右側(cè).若，求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）, ;（2）．

【解析】（1）由已知，將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，確定其長(zhǎng)軸、短軸，并求出參數(shù)的值，從而求出橢圓方程及其離心率；（2）根據(jù)題意結(jié)合草圖，易知，通過動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將四邊形分割成三角形和三角形進(jìn)行運(yùn)算即可.

試題解析：（1）由題意知橢圓 ，

所以， ，

故，

解得，

所以橢圓的方程為.

因?yàn)?/span>，

所以離心率.

（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為.

因?yàn)?/span>，所以.

由題意知直線的斜率存在，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率，

所以直線的斜率，

故直線的方程為.

令，得，故.

由，得，化簡(jiǎn)得.

因此，

．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立．

故四邊形面積的最小值為．