Question

【題目】已知橢圓的左焦點為，左頂點為，離心率為，點 滿足條件.

（Ⅰ）求實數(shù)的值；

（Ⅱ）設(shè)過點的直線與橢圓交于兩點，記和的面積分別為，證明： .

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出， 利用求的值；
（Ⅱ）方法一：分類討論，設(shè)出直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理證明，求出面積，即可得出結(jié)論；

方法二：依題意可設(shè)直線的方程為： ，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理證明，求出面積，即可得出結(jié)論；

試題解析：（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

∴，

則，

∵，解得

（Ⅱ）方法一：

①若直線的斜率不存在，則， ，符合題意

②若直線的斜率存在，因為左焦點，則可設(shè)直線的方程為： ，

并設(shè).

聯(lián)立方程組，消去得：

∴,

∵

∴

∵，

∴

方法二：依題意可設(shè)直線的方程為： ，并設(shè).—5分

聯(lián)立方程組，消去，得

∴,

∵

∴

∵，

∴