Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和 ，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，且,。

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)上有一點(diǎn)在 的外接圓上，求的值

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由且，得，從而，由此可以求出橢圓的離心率；（2）當(dāng)時(shí),得， , 線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由 ，可以推導(dǎo)出的值.

試題解析：（1）解：由// 且，得，從而

整理，得，故離心率

(2)解法一：由（II）可知

當(dāng)時(shí)，得，由已知得.

線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)l的方程為直線(xiàn)l與x軸

的交點(diǎn)是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.

直線(xiàn)的方程為，于是點(diǎn)H（m，n）的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組

， 由解得故

當(dāng)時(shí)，同理可得.

解法二：由（II）可知

當(dāng)時(shí)，得,由已知得

由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知B， ，C三點(diǎn)共線(xiàn)，因?yàn)辄c(diǎn)H（m，n）在的外接圓上，

且，所以四邊形為等腰梯形.

由直線(xiàn)的方程為,知點(diǎn)H的坐標(biāo)為.

因?yàn)?/span>，所以，解得m=c（舍），或.

則，所以.

當(dāng)時(shí)同理可得.

【 方法點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓性質(zhì)與離心率以及圓的方程與性質(zhì)，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線(xiàn)的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線(xiàn)的定義來(lái)求解;④根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義求解．