Question

已知是橢圓的右焦點(diǎn)，圓與軸交于兩點(diǎn)，是橢圓與圓的一個交點(diǎn)，且.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）過點(diǎn)與圓相切的直線與的另一交點(diǎn)為，且的面積等于，求橢圓的方程.

Answer 1

①. ②. .

解析試題分析：（Ⅰ）利用圓及橢圓方程求出點(diǎn) 的坐標(biāo), 利用圓的幾何性質(zhì)及條件，計算出 ,再利用勾股定理建立 之間的方程,求出離心率. （Ⅱ）由（Ⅰ）問中的離心率值化簡橢圓方程,利用圓的切線性質(zhì)確定直線 的斜率,寫出直線方程,再與橢圓方程聯(lián)立,求出 的底邊長 及高,建立面積等式求出 .
試題解析：（Ⅰ）由題意，，，，
∵，
得，
由，
得，
即橢圓的離心率                     （4分）

（Ⅱ）的離心率，令，，則
直線，設(shè)
由   得，
又點(diǎn)到直線的距離，
的面積，
解得
故橢圓………（12分）
考點(diǎn)：1.橢圓的定義;2.離心率;3.圓的幾何性質(zhì);4.直線與橢圓位置關(guān)系.