Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，直線(xiàn)與線(xiàn)段、分別交于點(diǎn)、.

（1）當(dāng)時(shí)，求以為焦點(diǎn)，且過(guò)中點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交于點(diǎn)，記的外接圓為圓.
①求證:圓心在定直線(xiàn)上；
②圓是否恒過(guò)異于點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)?若過(guò)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(1)(2)①略②.

解析試題分析：(1)根據(jù)題意，，，求出，可得到方程；(2)①解法一：根據(jù)題意寫(xiě)出的坐標(biāo)，線(xiàn)段的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)就是圓心，將圓心坐標(biāo)代入中，可得證；解法二：設(shè)出一般方程，將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，聯(lián)立求解；②根據(jù)①，寫(xiě)出圓系方程，聯(lián)立方程解得該定點(diǎn).
試題解析：(1)設(shè)橢圓的方程為,
當(dāng)時(shí), 的中點(diǎn)為，則                                   1分
而,所以，                                           2分
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為                                           3分
(Ⅱ)①解法一:易得直線(xiàn)，直線(xiàn)
可得,再由,得                      5分
則線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為,                                         6分
線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為,                                 7分
由,                                                    8分
解得的外接圓的圓心坐標(biāo)為                              9分
經(jīng)驗(yàn)證,該圓心在定直線(xiàn)上                                   10分
②由①可得圓C的方程為                  11分
該方程可整理為,
則由,解得或,                        13分
所以圓恒過(guò)異于點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn),該點(diǎn)坐標(biāo)為                      14分
解法二: 易得直線(xiàn)，直線(xiàn)           5分
所以可得,                                            6分
再由<