Question

（本小題滿分14分）已知橢圓的中心在坐標原點，兩焦點分別為雙曲線的頂點，直線與橢圓交于，兩點，且點的坐標為，點是橢圓上異于點,的任意一點，點滿足，，且，，三點不共線.

（1）求橢圓的方程；

（2）求點的軌跡方程；

（3）求面積的最大值及此時點的坐標.

Answer 1

（1）；（2），除去四個點，，，；（3），點的坐標為或.

【解析】

試題分析：（1）由雙曲線的頂點得橢圓的焦點，由橢圓的定義得的值，利用即可得橢圓的方程；（2）設(shè)點，先寫出，，，的坐標，再根據(jù)已知條件可得，，代入，化簡，即可得點的軌跡方程；（3）先計算的面積，利用基本不等式即可得的面積的最大值.

試題解析：（1）解法1： ∵ 雙曲線的頂點為,, 1分

∴ 橢圓兩焦點分別為,.

設(shè)橢圓方程為，

∵ 橢圓過點，

∴ ，得. 2分

∴ . 3分

∴ 橢圓的方程為 . 4分

解法2: ∵ 雙曲線的頂點為,, 1分

∴ 橢圓兩焦點分別為,.

設(shè)橢圓方程為，

∵ 橢圓過點，

∴ . ① 2分

∵ , ② 3分

由①②解得, .

∴ 橢圓的方程為 . 4分

（2）解法1：設(shè)點，點，

由及橢圓關(guān)于原點對稱可得，

∴，，，.

由 , 得 ， 5分

即 . ①

同理, 由, 得 . ② 6分

①②得 . ③ 7分

由于點在橢圓上, 則，得,

代入③式得 .

當時，有，

當，則點或,此時點對應(yīng)的坐標分別為或 ，其坐標也滿足方程. 8分

當點與點重合時，即點，由②得 ，

解方程組 得點的坐標為或.

同理, 當點與點重合時，可得點的坐標為或.

∴點的軌跡方程為 , 除去四個點,, ,. 9分

解法2：設(shè)點，點，

由及橢圓關(guān)于原點對稱可得，

∵，，

∴，.

∴，① 5分

. ② 6分

①② 得 . (*) 7分

∵ 點在橢圓上, ∴ ，得,

代入(*)式得，即,

化簡得 .

若點或, 此時點對應(yīng)的坐標分別為或 ，其坐標也滿足方程. 8分

當點與點重合時，即點，由②得 ，

解方程組 得點的坐標為或.

同理, 當點與點重合時，可得點的坐標為或.

∴點的軌跡方程為 , 除去四個點,, ,. 9分

(3) 解法１：點到直線的距離為.

△的面積為 10分

. 11分

而（當且僅當時等號成立）

∴. 12分

當且僅當時, 等號成立.

由解得或 13分

∴△的面積最大值為, 此時,點的坐標為或. 14分

解法２：由于，

故當點到直線的距離最大時，△的面積最大． 10分

設(shè)與直線平行的直線為，

由消去，得，

由，解得． 11分

若，則，；若，則，． 12分

故當點的坐標為或時，△的面積最大，其值為

． 14分

考點：1、橢圓的方程；2、雙曲線的方程；3、直線與圓錐曲線；4、基本不等式；5、三角形的面積；6、動點的軌跡方程.

考點分析： 考點1：橢圓的標準方程 考點2：橢圓的幾何性質(zhì) 試題屬性

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