Question

【題目】已知函數(shù)， ， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn),，試判斷， ， 的大小關(guān)系.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出的值. (2)第（2）問(wèn)，先研究函數(shù)g(x)在的單調(diào)性得到它的兩個(gè)零點(diǎn)的范圍， ， ，再作差比較和的大小，最后利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)比較和的大小.

試題解析：

（1）由題意，知， .

因?yàn)?/span>，所以，即.

又因?yàn)?/span>，所以.

（2）由題意，知.

因?yàn)?/span>， ，由，得或.

當(dāng)時(shí)， ，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；

所以的極小值為.

因?yàn)?/span>，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以.

又因?yàn)?/span>， ，所以存在，使得，所以存在，使得，且，所以，即.

當(dāng)時(shí)， ， .

令， ，則，設(shè)，

則在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，

所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，

所以當(dāng)時(shí)， .

又因?yàn)?/span>， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以

所以.