Question

【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))．

（1）若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若,且方程在內(nèi)有解,求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為；(2)．

【解析】

試題分析：(1)借助題設(shè)條件運用導(dǎo)數(shù)求解；(2)借助題設(shè)條件運用導(dǎo)數(shù)的知識構(gòu)造函數(shù)求解.

試題解析：

（1）當(dāng),所以, 時, 的單調(diào)遞減區(qū)間為；時, 的單調(diào)遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為；時, 的單調(diào)遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為.

（2）由得.由得,設(shè),則 在內(nèi)有零點. 設(shè)為在內(nèi)的一個零點, 則由、知在區(qū)間和上不可能單調(diào)遞增,也不可能單調(diào)遞減,設(shè),則在區(qū)間和上均存在零點, 即在上至少有兩個零點.

.

當(dāng)時, 在區(qū)間上遞增,不可能有兩個及以上零點；當(dāng)時, 在區(qū)間上遞減,不可能有兩個及以上零點；

當(dāng)時, 得所以在區(qū)間上遞減, 在上遞增, 在區(qū)間上存在最小值,若有兩個零點, 則有：.

,設(shè),則,令,得,當(dāng)時, 遞增, 當(dāng)時,

遞減, 恒成立.

由,得.

當(dāng)時, 設(shè)的兩個零點為,則在遞增, 在遞減, 在遞增, 所以,則在內(nèi)有零點.

綜上,實數(shù)的取值范圍是.