Question

【題目】已知四棱錐，底面為菱形，，為上的點，過的平面分別交，于點，，且平面.

（1）證明：；

（2）當(dāng)為的中點，，與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】【試題分析】（1）連結(jié)交于點，連結(jié)．根據(jù)菱形有，根據(jù)等腰三角形有，所以以平面，.利用線面平行的性質(zhì)定理有，故，所以.（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，通過計算平面和平面的法向量來計算二面角的余弦值.

【試題解析】

（1）證明：連結(jié)交于點，連結(jié)．因為為菱形，所以，且為、的中點，因為，所以，

因為且平面，所以平面，

因為平面，所以．

因為平面，平面，且平面平面，

所以，所以．

（2）由（1）知且，因為，且為的中點，

所以，所以平面，所以與平面所成的角為，

所以，所以，因為，所以．

分別以，，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則

，

所以．

記平面的法向量為，則，

令，則，所以，

記平面的法向量為，則，

令，則，所以，

記二面角的大小為，則．

所以二面角的余弦值為．