Question

4．某市司法部門為了宣傳《憲法》舉辦法律知識(shí)問答活動(dòng)，隨機(jī)對(duì)該市18～68歲的人群抽取一個(gè)容量為n的樣本，并將樣本數(shù)據(jù)分成五組：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68]，再將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第1組，第2組，…，第5組，繪制了樣本的頻率分布直方圖；并對(duì)回答問題情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，結(jié)果如下表所示．

組號(hào)	分組	回答正確的人數(shù)	回答正確 的人數(shù)占本 組的比例
第1組	[18，28）	5	0.5
第2組	[28，38）	18	a
第3組	[38，48）	27	0.9
第4組	[48，58）	x	0.36
第5組	[58，68]	3	0.2

（Ⅰ）分別求出a，x的值；
（Ⅱ）第2，3，4組回答正確的人中用分層抽樣方法抽取6人，則第2，3，4組每組應(yīng)各抽取多少人？
（III）在（ II）的前提下，決定在所抽取的6人中隨機(jī)抽取2人頒發(fā)幸運(yùn)獎(jiǎng)，求所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出第1組人數(shù)為10，由此能求出a，x的值．
（Ⅱ）第2，3，4組回答正確的人數(shù)的比為18：27：9=2：3：1，由此能求出第2，3，4組每組應(yīng)各依次抽取的人數(shù)．
（Ⅲ）記“所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)”為事件A，抽取的6人中，第2 組的設(shè)為a₁，a₂，第3組的設(shè)為b₁，b₂，b₃，第4組的設(shè)為c，利用列舉法求出從6名幸運(yùn)者中任取2名的所有可能的情況有15種，再利用列舉法求出第2組至少有1人的情況有9種，由此能求出所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率．

解答 解：（Ⅰ）第1組人數(shù)5÷0.5=10，
所以10÷0.1=100，
第2組頻率為：0.2，人數(shù)為：100×0.2=20，
所以18÷20=0.9，…（2分）
第4組人數(shù)100×0.25=25，
所以x=25×0.36=9．…（4分）
（Ⅱ）第2，3，4組回答正確的人數(shù)的比為18：27：9=2：3：1，…（5分）
所以第2，3，4組每組應(yīng)各依次抽取2人，3人，1人．…（7分）
（Ⅲ）記“所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)”為事件A，
抽取的6人中，第2 組的設(shè)為a₁，a₂，第3組的設(shè)為b₁，b₂，b₃，
第4組的設(shè)為c，則從6名幸運(yùn)者中任取2名的所有可能的情況有15種，它們是：
（a₁，a₂），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，b₃），（a₁，c），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，b₃），
（a₂，c），（b₁，b₂），（b₁，b₃），（b₁，c），（b₂，b₃），（b₂，b₃），（b₂，c），（b₃，c）． …（9分）
其中第2組至少有1人的情況有9種，
他們是：（a₁，a₂），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，b₃），（a₁，c），
（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，b₃），（a₂，c）．   …（10分）
所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率p（A）=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．   …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查分層抽樣、頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．