Question

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l：的垂線，垂足為Q，且．

Ⅰ求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

Ⅱ設(shè)點(diǎn)P的軌跡C與x軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)A，B是軌跡C上異于點(diǎn)M的不同的兩點(diǎn)，且滿足，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】Ⅰ；Ⅱ

【解析】

Ⅰ設(shè),則,根據(jù)代入整理即可得P點(diǎn)的軌跡方程；

Ⅱ表示出MA方程并與軌跡C聯(lián)立,可得A的坐標(biāo),設(shè)出直線AB的方程并與C聯(lián)立,利用根于系數(shù)關(guān)系得到的坐標(biāo),進(jìn)而得到,并用換元思想及二次函數(shù)最值可求出范圍

Ⅰ因?yàn)?/span>，設(shè),則,

所以,,,,

因?yàn)?/span>,

所以,

整理得,

所以點(diǎn)P的軌跡C的方程為

Ⅱ根據(jù)題意知,設(shè)MA：,

聯(lián)立,解得,所以點(diǎn),

設(shè)AB：,

聯(lián)立,消去x得,

設(shè),,則,

因?yàn)?/span>,所以,

則,

所以,

設(shè),則,

令,對(duì)稱軸為,所以y在上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)時(shí),y取最小值,即取最小值,

所以最小值為,

則最小值為,

所以取值范圍是