Question

【題目】設函數(shù).

（1）若，證明：；

（2）已知，若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）當時，利用導數(shù)求得函數(shù)的最大值，由此證得不等式成立.（2）先求得的表達式，將零點問題轉化為有兩個不相等的實根來解決.顯然是方程的根.當，構造函數(shù)，利用導數(shù)來求得當有一個不為零的零點時的取值范圍.

證明：（1）當時，，

所以，

所以當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；

當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.

所以當時，函數(shù)有極大值，也為最大值，

所以最大值為，

所以.

（2）因為函數(shù)有兩個零點可轉化為有兩個零點，即關于的方程有兩個不相等的實根，

易知0為方程的一個根，此時.

當時，只需有一個不為0的零點即可，

當時，，

故為減函數(shù)，

因為 ，，

故在上僅有1個零點，且不為0，滿足題意；

當時，，不合題意；

當時，， ，

，根據(jù)零點的存在性定理可知在上至少有1個零點，當時，為負數(shù)，故在上也有零點，故不合題意.

綜上，.