Question

已知數(shù)列{a_n}的每一項都為正數(shù)，a₁=

1

2

，a₂=

4

5

，且對滿足s+t=p+q的正整數(shù)s，t，p，q，都有

as+at

(1+as)(1+at)

=

ap+aq

(1+ap)(1+aq)

．記b_n=

1-an

1+an

．
（1）證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）法1：根據(jù)遞推關(guān)系求出

bn+1

bn

是常數(shù)，即可證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
法2：利用等比數(shù)列的性質(zhì)去證明等比數(shù)列．
（2）根據(jù)數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，先求出{b_n}的通項公式，然后即可求數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答： 解：（1）證法一：
由已知

a2+an

(1+a2)(1+an)

=

a1+an+1

(1+a1)(1+an+1)

，代入a1=

1

2

，a2=

4

5

可得

4+5an

9(1+an)

=

1+2an+1

3(1+an+1)

⇒5-

1

1+an

=6-

3

1+an+1

⇒

3

1+an+1

=

1

1+an

+1⇒an+1=

2an+1

an+2

由定義對任意的n∈N^*，

bn+1

bn

=

1-an+1

1+an+1

•

1+an

1-an

=

1- 2an+1 an+2

1+ 2an+1 an+2

•

1+an

1-an

=

1-an

3(1+an)

•

1+an

1-an

=

1

3

從而數(shù)列{b_n}是以

1

3

為公比的等比數(shù)列．
證法二：
由bn=

1-an

1+an

⇒an=

1-bn

1+bn

代入已知可得

1-bs 1+bs + 1-bt 1+bt

(1+ 1-bs 1+bs )(1+ 1-bt 1+bt )

=

1-bp 1+bp + 1-bq 1+bq

(1+ 1-bp 1+bp )(1+ 1-bq 1+bq )

，
整理得到(

1-bs

1+bs

+

1-bt

1+bt

)(1+bs)(1+bt)=(

1-bp

1+bp

+

1-bq

1+bq

)(1+bp)(1+bq)⇒bs•bt=bp•bq，
即對滿足s+t=p+q的正整數(shù)s，t，p，q，均有b_s•b_t=b_p•b_q，符合等比數(shù)列性質(zhì)，又通過取特殊值可得

bn+1

bn

=

b2

b1

=

1

3

．從而數(shù)列{b_n}是以

1

3

為公比的等比數(shù)列．
（2）經(jīng)計算b1=

1-a1

1+a1

=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，
從而bn=(

1

3

)n⇒an=

1-bn

1+bn

=

3n-1

3n+1

，n∈N*

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的證明以及數(shù)列通項公式的計算，利用數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．