Question

【題目】

已知函數(shù)，其中是常數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，f（1）＝e，f′（1）＝4e，由點(diǎn)斜式可求得y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；

（Ⅱ） 令f′（x）＝ex[x2+（a+2）x）]＝0，可解得x＝﹣（a+2）或x＝0，對(duì)﹣（a+2）與0的大小關(guān)系分類討論，可求得關(guān)于x的方程f（x）＝k在[0，+∞）上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的k的取值范圍．

解：(Ⅰ)由可得

.

當(dāng)時(shí),,.

所以 曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

即

（Ⅱ） 令，

解得或

當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，，所以是上的增函數(shù).

所以 方程在上不可能有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

當(dāng)，即時(shí)，隨的變化情況如下表

		↘		↗

由上表可知函數(shù)在上的最小值為.

因?yàn)?/span> 函數(shù)是上的減函數(shù)，是上的增函數(shù)，

且當(dāng)時(shí)，有.

所以 要使方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，的取值范圍必須是

.