Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且C上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和都為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 如圖，設(shè)A是橢圓長(zhǎng)軸一個(gè)頂點(diǎn)，直線l與橢圓交于P、Q（不同于A），若∠PAQ=90°，求證直線l恒過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）由題意可得：

c

a

=

3

2

，2a=4，b²=a²-c²即可得出；
（II）設(shè)直線AP的方程為l₁：y=k（x-2），P（x₁，y₁）與橢圓的方程聯(lián)立可得P，同理可得Q，設(shè)直線PQ交x軸于點(diǎn)M（m，0），利用

MP

∥

MQ

，即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）2a=4，a=2，

c

a

=

3

2

，c=

3

，b=

a2-c2

=1，
∴橢圓的方程是

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)直線AP的方程為l₁：y=k（x-2），P（x₁，y₁）
由

x2 4 +y2=1 y=k(x-2)

得，（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0．
則2•x1=

16k2-4

1+4k2

，
∴x1=

8k2-2

1+4k2

，y1=k(x1-2)=-

4k

4k2+1

，
∵∠PAQ=90°，設(shè)Q（x₂，y₂）
以-

1

k

代換x₁，y₁表達(dá)式中的k，得x2=

8-2k2

4+k2

，y2=

4k

4+k2

，
設(shè)直線PQ交x軸于點(diǎn)M（m，0），

MP

∥

MQ

，

MP

=(

8k2-2

4k2+1

-m，-

4k

4k2+1

)，

MQ

=(

8-2k2

4+k2

-m，

4k

4+k2

)，
∴(

8k2-2

4k2+1

-m)•

4k

4+k2

-(

8-2k2

4+k2

-m)•(-

4k

4k2+1

)=0，
5m（1+k²）=6（1+k²）則m=

6

5

，
∴直線EF過(guò)定點(diǎn)(

6

5

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得交點(diǎn)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、共線向量定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．