Question

9．中央電視臺公開課《開講啦》需要現(xiàn)場觀眾，現(xiàn)邀請甲、乙、丙、丁四所大學(xué)的40名學(xué)生參加，各大學(xué)邀請的學(xué)生數(shù)如下表所示：

大學(xué)	甲	乙	丙	丁
人數(shù)	8	12	8	12

從這40名學(xué)生中按分層抽樣的方式抽取10名學(xué)生安排在第一排發(fā)言席就座．
（1）從抽取的10名學(xué)生中隨機(jī)選出3名學(xué)生發(fā)言，求這3名學(xué)生中任意2名均不屬于同一大學(xué)的概率；
（2）從抽取的10名學(xué)生中隨機(jī)選出3名學(xué)生發(fā)言，設(shè)其中來自乙大學(xué)的學(xué)生人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）從20名學(xué)生中隨機(jī)選出3名的方法總數(shù)為${C}_{40}^{3}$，選出3人中均不屬于同一學(xué)院的方法數(shù)為${C}_{8}^{1}{C}_{12}^{1}{C}_{8}^{1}+{C}_{8}^{1}{C}_{12}^{1}{C}_{12}^{1}$+${C}_{8}^{1}{C}_{8}^{1}{C}_{12}^{1}+{C}_{12}^{1}{C}_{8}^{1}{C}_{12}^{1}$，由此能求出這3名學(xué)生中任意2名均不屬于同一大學(xué)的概率．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）從20名學(xué)生中隨機(jī)選出3名的方法總數(shù)為${C}_{40}^{3}$，
選出3人中均不屬于同一學(xué)院的方法數(shù)為${C}_{8}^{1}{C}_{12}^{1}{C}_{8}^{1}+{C}_{8}^{1}{C}_{12}^{1}{C}_{12}^{1}$+${C}_{8}^{1}{C}_{8}^{1}{C}_{12}^{1}+{C}_{12}^{1}{C}_{8}^{1}{C}_{12}^{1}$=3840，
∴這3名學(xué)生中任意2名均不屬于同一大學(xué)的概率p=$\frac{3840}{{C}_{40}^{3}}$=$\frac{96}{247}$．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{28}^{3}}{{C}_{40}^{3}}$=$\frac{3276}{9880}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{12}^{1}{C}_{28}^{2}}{{C}_{40}^{3}}$=$\frac{4536}{9880}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{12}^{2}{C}_{28}^{1}}{{C}_{40}^{3}}$=$\frac{1848}{9880}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{12}^{3}}{{C}_{40}^{3}}$=$\frac{220}{9880}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{3276}{9880}$	$\frac{4536}{9880}$	$\frac{1848}{9880}$	$\frac{220}{9880}$

Eξ=$0×\frac{3276}{9880}+1×\frac{4536}{9880}+2×\frac{1848}{9880}$+$3×\frac{220}{9880}$=9．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．