Question

20．已知函數$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2sin（x-\frac{π}{4}）sin（x+\frac{π}{4}）$．
（Ⅰ）求函數f（x）圖象的對稱軸方程；
（Ⅱ）求函數f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角函數的恒等變換及化簡函數的解析式，再利用正弦函數的圖象的對稱性，得出結論．
（2）由條件利用正弦函數的定義域和值域，求得函數的值域．

解答 解：函數$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2sin（x-\frac{π}{4}）sin（x+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{3}$sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）
=$\sqrt{3}$sin2x+sin²x-cos²x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由$2x-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z），得：x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}（k∈Z）$，
∴函數圖象的對稱軸方程為$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}（k∈Z）$．
（2）∵$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，∴$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$．
∵$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）在區(qū)間[-\frac{π}{12}，\frac{π}{3}]上單調遞增，在區(qū)間[\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$上單調遞減，∴$當x=\frac{π}{3}時，f（x）$取得最大值2．
又f（-$\frac{π}{12}$）=-$\sqrt{3}$＜f（$\frac{π}{2}$）=1，故函數的最小值為-$\sqrt{3}$，故函數的值域為[-$\sqrt{3}$，2]．

點評 本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的圖象的對稱性，定義域和值域、最值，屬于中檔題．