Question

【題目】設(shè)，函數(shù)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在處有公共的切線.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)恒成立.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，分別求導(dǎo)得（Ⅱ）由于，所以根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是否變號(hào)進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，先增后減再增（Ⅲ）證明不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題，即證的最小值大于零，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性：時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，從而

試題解析：（Ⅰ），

由，得.……………………………………2分

（Ⅱ），

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，從而函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)

若，，則函數(shù)單調(diào)遞增；

若，，則函數(shù)單調(diào)遞減；

若時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增.……………………6分

（Ⅲ）令，則.

，令，則.

當(dāng)時(shí)，，

又當(dāng)時(shí)，，從而單調(diào)遞減；

所以.

故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；

又因?yàn)?/span>，故當(dāng)時(shí)，，

從而函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；

又因?yàn)?/span>

所以在區(qū)間恒成立.…………14分