Question

7．下列命題中：
①偶函數的圖象一定與y軸相交；
②奇函數的圖象一定過原點；
③若奇函數f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$，則實數a=1；
④圖象過原點的奇函數必是單調函數；
⑤函數y=2^x-x²的零點個數為2；
⑥互為反函數的圖象關于直線y=x對稱．
上述命題中所有正確的命題序號是③⑥．

Answer 1

分析 ①，偶函數的圖象不一定與y軸相交，比如y=$\frac{1}{{x}^{2}}$；
②，奇函數的圖象不一定過原點，比如y=$\frac{1}{x}$；
③，∵奇函數f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$的定義域為R，由f（0）=0，得實數a=1；
④，圖象過原點的奇函數不一定是單調函數，比如y=sinx；
⑤，函數y=2^x-x²的零點個數為3，x＜0時有一個，還有x=2，x=4；
⑥，根據反函數的定義可得判定．

解答 解：對于①，偶函數的圖象不一定與y軸相交，比如y=$\frac{1}{{x}^{2}}$，故錯；
對于②，奇函數的圖象不一定過原點，比如y=$\frac{1}{x}$，故錯；
對于③，∵奇函數f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$的定義域為R，由f（0）=0，得實數a=1，故正確；
對于④，圖象過原點的奇函數不一定是單調函數，比如y=sinx，故錯；
對于⑤，函數y=2^x-x²的零點個數為3，x＜0時有一個，還有x=2，x=4，故錯；
對于⑥，根據反函數的定義可得，互為反函數的圖象關于直線y=x對稱，故正確．
故答案為：③⑥

點評 本題考查了命題真假的判定，涉及到函數的性質，屬于中檔題．