Question

已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求曲線在點的切線方程；

（2）對一切,恒成立,求實數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時，試討論在內(nèi)的極值點的個數(shù).

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2)實數(shù)的取值范圍為；

(3)當(dāng)，在內(nèi)的極值點的個數(shù)為1；當(dāng)時, 在

內(nèi)的極值點的個數(shù)為0.

【解析】

試題分析：(1)切點的導(dǎo)函數(shù)值，等于過這點的切線的斜率，由直線方程的點斜式即得所求.

(2)由題意:,轉(zhuǎn)化成，只需確定的最大值.

設(shè),利用導(dǎo)數(shù)研究其最大值.

(3)極值點處的導(dǎo)函數(shù)值為零.

問題可轉(zhuǎn)化成研究在內(nèi)零點的個數(shù).

注意到， ，因此，討論，時，在內(nèi)零點的個數(shù)，使問題得解.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，方法比較明確，分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，是解決問題的關(guān)鍵.

試題解析：(1) 由題意知,所以

又，

所以曲線在點的切線方程為 4分

(2)由題意:,即

設(shè),則

當(dāng)時,；當(dāng)時,

所以當(dāng)時，取得最大值

故實數(shù)的取值范圍為. 9分

(3) ，，

①當(dāng)時, ∵

∴存在使得

因為開口向上，所以在內(nèi),在內(nèi)

即在內(nèi)是增函數(shù), 在內(nèi)是減函數(shù)

故時，在內(nèi)有且只有一個極值點, 且是極大值點. 11分

②當(dāng)時,因

又因為開口向上

所以在內(nèi)則在內(nèi)為減函數(shù)，故沒有極值點 13分

綜上可知：當(dāng)，在內(nèi)的極值點的個數(shù)為1；當(dāng)時, 在

內(nèi)的極值點的個數(shù)為0. 14分

考點：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，轉(zhuǎn)化與化歸思想，函數(shù)零點存在定理.