Question

【題目】已知F為拋物線的焦點，過F且傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，.

（1）求拋物線的方程：

（2）已知為拋物線上一點，M，N為拋物線上異于P的兩點，且滿足，試探究直線MN是否過一定點？若是，求出此定點；若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）過定點，

【解析】

(1)設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線的方程，根據(jù)韋達定理即可求解出的值，即可求解出拋物線的方程；

(2)求解出點坐標，設(shè)出直線的方程，根據(jù)求解出之間的關(guān)系，從而確定出直線所過的定點.

解：（1）由已知，直線AB的方程為

聯(lián)立直線與拋物線，消y可得，，所以，

因為，所以，

即拋物線的方程為.

（2）將代入可得，

不妨設(shè)直線MN的方程為,

聯(lián)立，消x得，

則有，

由題意,

化簡可得，，

代入

此時直線MN的方程為，

所以直線MN過定點.