Question

16．解關(guān)于x的不等式：2x²+ax+2＞0（a∈R）

Answer 1

分析 討論△＞0，△=0以及△＜0時(shí)對(duì)應(yīng)不等式的解集即可．

解答 解：關(guān)于x的不等式：2x²+ax+2＞0（a∈R）中，
△=a²-4×2×2=a²-16，
當(dāng)a＞4或a＜-4時(shí)，△＞0，
對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$和x=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$，
且$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$＜$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$，
∴不等式的解集為{x|x＜$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$或x＞$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$}；
當(dāng)a=±4時(shí)，△=0，
對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x=-$\frac{a}{4}$，
∴不等式的解集為{x|x≠-$\frac{a}{4}$}；
當(dāng)-4＜a＜4時(shí)，△＜0，
∴不等式的解集為R；
綜上，a＞4或a＜-4時(shí)，不等式的解集為{x|x＜$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$或x＞$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$}；
a=±4時(shí)，不等式的解集為{x|x≠-$\frac{a}{4}$}；
-4＜a＜4時(shí)，不等式的解集為R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．