Question

6．以雙曲線(xiàn)C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3}$=1（a＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F為圓心的圓與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相切，則該圓的面積為（　�。�

• A． π
• B． 3π
• C． 6π
• D． 9π

Answer 1

分析 因雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，所以其右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），漸近線(xiàn)方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{a}$x，故滿(mǎn)足要求的圓的半徑為右焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離，求解圓的面積即可．

解答 解：由題意雙曲線(xiàn)C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3}$=1，知圓的半徑等于右焦點(diǎn)（c，0）到其中一條漸近線(xiàn) y=$\frac{\sqrt{3}}{a}$x的距離，
根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得：
R=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{a}×\sqrt{{a}^{2}+3}|}{\sqrt{\frac{3}{{a}^{2}}+1}}$=$\sqrt{3}$．解得a²=3，
圓的面積為：（$\sqrt{3}$）²π=3π
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)、圓與圓錐曲線(xiàn)的綜合、方程式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．