Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)，直線， 分別與軸交于點(diǎn)， ．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）經(jīng)過兩定點(diǎn)， .

【解析】試題分析：（Ⅰ）橢圓的左焦點(diǎn)為，所以．由點(diǎn)在橢圓上，得，進(jìn)而解出得到橢圓的方程；（Ⅱ）直線與橢圓聯(lián)立，解得的坐標(biāo)（用表示），設(shè)出， 的方程，解出的坐標(biāo)，圓方程用表示，最后可求得為直徑的圓經(jīng)過兩定點(diǎn).

試題解析：（Ⅰ） 設(shè)橢圓的方程為，

因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，所以．

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以．

由①②解得， ， ．

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

因?yàn)橹本�與橢圓交于兩點(diǎn)， ，

設(shè)點(diǎn)（不妨設(shè)），則點(diǎn)．

聯(lián)立方程組消去得．

所以，則．

所以直線的方程為．

因?yàn)橹本�， 分別與軸交于點(diǎn)， ，

令得，即點(diǎn)．

同理可得點(diǎn)．

所以．

設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

則以為直徑的圓的方程為 ，

即．

令，得，即或．

故以為直徑的圓經(jīng)過兩定點(diǎn)， ．