Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，已知點，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，點的極坐標為，直線的極坐標方程為，且過點；過點與直線平行的直線為， 與曲線相交于兩點.

（1）求曲線上的點到直線距離的最小值；

（2）求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（1）將點坐標代入直線的極坐標方程，求得的值，展開后可將直線的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程.利用點到直線的距離公式求出的表達式，利用三角函數(shù)輔助角公式可求得距離的最小值.（2）利用點的坐標和斜率可求得的方程，寫出的參數(shù)方程，代入曲線的普通方程，化簡后寫出韋達定理，利用弦長公式可求得的值.

試題解析：

（1）因為，且，所以，即

所以直線的極坐標方程為

所以

即直線的直角坐標方程為

設(shè)曲線上的點到直線距離為，則

所以曲線上的點到直線距離的最小值為

（2）設(shè)的方程為，由于過點，所以，所以的方程為

故的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的普通方程為

所以，即有

所以

所以