Question

10．已知二次函數f（x）=$\frac{1}{2}$（a-1）x²+（b-4）x+1，其中a＞0，b＞0．
（1）當a=3，b=8時，求不等式f（x）≤0的解集；
（2）若函數f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上單調遞減，求ab的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據一元二次不等式的解法解得即可；
（2）需要分類討論，根據二次函數的性質和基本不等式即可求出ab的最大值．

解答 解：（1）當a=3，b=8時，f（x）=x²+4x+1，
∵f（x）≤0，
∴x²+4x+1≤0，
解得-2-$\sqrt{3}$≤x≤-2+$\sqrt{3}$，
∴不等式f（x）≤0的解集為（-2-$\sqrt{3}$，-2+$\sqrt{3}$），
（2）f（x）的對稱軸為x=-$\frac{b-4}{a-1}$，函數f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上單調遞減，
①當a＞1時，拋物線的開口向上，
由-$\frac{b-4}{a-1}$≥2，得2a+b≤6，
∵2a•b≤$（\frac{2a+b}{2}）^{2}$≤9，
∴ab≤$\frac{9}{2}$，
當且僅當$\left\{\begin{array}{l}{2a=b}\\{2a+b=6}\end{array}\right.$，即a=$\frac{3}{2}$，b=3時等號成立，
②當a＜1時，拋物線的開口向上，
由-$\frac{b-4}{a-1}$≤$\frac{1}{2}$，得a+2b≤9，
∵a•2b≤$（\frac{a+2b}{2}）^{2}$≤$\frac{81}{4}$，
∴ab≤$\frac{81}{8}$，
當且僅當a=$\frac{9}{2}$，b=$\frac{9}{4}$時等號成立，
∵a=$\frac{9}{2}$＞1，故應舍去，
由①②得ab的最大值為$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了二次函數的性質以及基本不等式的應用，屬于中檔題．