Question

3．已知：不等式組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+{y}^{2}≥0}\\{1≤x≤2}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域為Ω，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是Ω內任意一點，則z=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂的最大值是2．

Answer 1

分析 畫出不等式組表示的可行域，化簡所求表達式利用基本不等式求解最值．

解答 解：不等式組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+{y}^{2}≥0}\\{1≤x≤2}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$轉化為：$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）}^{2}+{y}^{2}≥1\\ 1≤x≤2\\-1≤y≤1\end{array}\right.$，如圖：
P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是Ω內任意一點，則z=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂，
∵-1≤y≤1，∴y₁y₂≤1，∵x₁+x₂≥2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$．
z=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=y₁y₂+1+x₁x₂-（x₁+x₂）
≤2+x₁x₂-2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$（\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}-1）^{2}+1$．
x₁x₂≤4．
$1≤\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}≤2$．
z≤2．
∴z=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂的最大值是2．
故答案為2

點評 本題考查線性規(guī)劃的應用，考查基本不等式以及線性規(guī)劃，考查分析問題解決問題的能力．