Question

14．討論lnx=x³-2ex²+mx方程根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為直線y=m和函數(shù)y=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)y=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$的單調(diào)性可得．

解答 解：lnx=x³-2ex²+mx方程根的個(gè)數(shù)等價(jià)于x³-2ex²+mx-lnx=0的根的個(gè)數(shù)，
變形可得m=$\frac{-{x}^{3}+2e{x}^{2}+lnx}{x}$=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$，即直線y=m和函數(shù)y=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
求導(dǎo)數(shù)可得y′=-2x+2e+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=-2（x-e）+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，y′＞0，函數(shù)y=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，y′＜0，函數(shù)y=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$單調(diào)遞減；
∴當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)y=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$取最大值e²+$\frac{1}{e}$，
又當(dāng)x趨向于0或+∞時(shí)，函數(shù)值y趨向于-∞，
結(jié)合圖象可得當(dāng)m＜e²+$\frac{1}{e}$時(shí)，直線y=m和函數(shù)y=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，即原方程有2個(gè)不等的實(shí)根；
當(dāng)m=e²+$\frac{1}{e}$時(shí)，直線y=m和函數(shù)y=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，即原方程有1個(gè)實(shí)根；
當(dāng)m＞e²+$\frac{1}{e}$時(shí)，直線y=m和函數(shù)y=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0，即原方程沒有實(shí)根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩圖象的交點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．