Question

20．在平面直角坐標系中，已知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），P（cosγ，sinγ）α，β，γ∈[0，2π），α≠β≠γ，設(shè)f（x）=|$\overrightarrow{BP}$-x$\overrightarrow{BA}$|（x∈R）的最小值為M（γ），若M（γ）的最大值為$\frac{5}{4}$，則|$\overrightarrow{AB}$|的值等于$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)x$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BC}$，則f（x）=|$\overrightarrow{BP}$-λ$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{CP}$|，由假設(shè)可得點C在直線AB上，故f（x）的最小值M為點P到AB的距離，再由圓的弦長公式可得結(jié)論．

解答 解：由A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），P（cosγ，sinγ），可得
A，B，P均在單位圓上，
設(shè)x$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BC}$，則f（x）=|$\overrightarrow{BP}$-λ$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{CP}$|，
由假設(shè)可得點C在直線AB上，
可得f（x）的最小值M為點P到AB的距離，
由M_max=$\frac{5}{4}$，
可得|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{1-（\frac{5}{4}-1）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

點評 本題考查向量知識的運用，考查圓的弦長公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．