Question

10．已知向量的集合A={$\overrightarrow{m}$|$\overrightarrow{m}$=（x，y），x²+y²≤1}中的任意兩個向量$\overrightarrow{{m}_{1}}$，$\overrightarrow{{m}_{2}}$與兩個非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，那么|a$\overrightarrow{{m}_{1}}$+b$\overrightarrow{{m}_{2}}$|與a+b的關(guān)系為（　　）

• A． |a$\overrightarrow{{m}_{1}}$+b$\overrightarrow{{m}_{2}}$|＞a+b
• B． |a$\overrightarrow{{m}_{1}}$+b$\overrightarrow{{m}_{2}}$|≤a+b
• C． |a$\overrightarrow{{m}_{1}}$+b$\overrightarrow{{m}_{2}}$|≥a+b
• D． |a$\overrightarrow{{m}_{1}}$+b$\overrightarrow{{m}_{2}}$|＜a+b

Answer 1

分析 由集合A可知，$|\overrightarrow{m}|≤1$，從而有$|\overrightarrow{{m}_{1}}|≤1，|\overrightarrow{{m}_{2}}|≤1$，這樣便可得到$\overrightarrow{{m}_{1}}•\overrightarrow{{m}_{2}}≤1$，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可比較$|a\overrightarrow{{m}_{1}}+b\overrightarrow{{m}_{2}}{|}^{2}$與（a+b）²的關(guān)系，從而便可得出$|a\overrightarrow{{m}_{1}}+b\overrightarrow{{m}_{2}}|$與a+b的關(guān)系．

解答 解：據(jù)題意知，$|\overrightarrow{{m}_{1}}|≤1，|\overrightarrow{{m}_{2}}|≤1$；
∴$\overrightarrow{{m}_{1}}•\overrightarrow{{m}_{2}}=|\overrightarrow{{m}_{1}}||\overrightarrow{{m}_{2}}|cos＜\overrightarrow{{m}_{1}}，\overrightarrow{{m}_{2}}＞≤1$；
∴${a}^{2}{\overrightarrow{{m}_{1}}}^{2}≤{a}^{2}，2ab\overrightarrow{{m}_{1}}•\overrightarrow{{m}_{2}}≤2ab$，$^{2}{\overrightarrow{{m}_{2}}}^{2}≤^{2}$；
∴${a}^{2}{\overrightarrow{{m}_{1}}}^{2}+2ab\overrightarrow{{m}_{1}}•\overrightarrow{{m}_{2}}+^{2}{\overrightarrow{{m}_{2}}}^{2}$≤a²+2ab+b²；
即$（a\overrightarrow{{m}_{1}}+b\overrightarrow{{m}_{2}}）^{2}≤（a+b）^{2}$，a，b≥0；
∴$|a\overrightarrow{{m}_{1}}+b\overrightarrow{{m}_{2}}|≤a+b$．
故選：B．

點(diǎn)評 考查描述法表示集合，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的長度，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式，不等式的性質(zhì)，要比較$|a\overrightarrow{{m}_{1}}+b\overrightarrow{{m}_{2}}|$與a+b的關(guān)系，而去比較$（a\overrightarrow{{m}_{1}}+b\overrightarrow{{m}_{2}}）^{2}$與（a+b）²的關(guān)系的方法．