Question

【題目】已知二次函數(shù)，不等式的解集有且只有一個(gè)元素，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

（3）設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列中，滿足的正整數(shù)的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的變號(hào)數(shù)，令，求數(shù)列的變號(hào)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）先根據(jù)不等式的解集有且只有一個(gè)元素再結(jié)合求出，進(jìn)而代入求出；再根據(jù)前項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）先求出數(shù)列的通項(xiàng)，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）先根據(jù)條件求出數(shù)列的通項(xiàng)，再通過作差求出數(shù)列的單調(diào)性，最后結(jié)合變號(hào)數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解：（1）不等式地的解集有且只有一個(gè)元素，

，又，故，

，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

不滿足，

.

（2），

當(dāng)時(shí)，，

.

又也滿足該式，故.

（3），，，，，

當(dāng)時(shí)，

，

故當(dāng)時(shí)，，

，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，

故數(shù)列的變號(hào)數(shù)為3.