Question

【題目】在正方體中，分別為線段的中點(diǎn)，為四棱錐的外接球的球心，點(diǎn)分別是直線上的動(dòng)點(diǎn)，記直線與所成角為，則當(dāng)最小時(shí)，（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

如圖，設(shè)分別為棱和的中點(diǎn)，則四棱錐的外接球即三棱柱的外接球，所以其外接球球心為上、下底面三角形外心和連線的中點(diǎn)，是平面內(nèi)的一條動(dòng)直線，所以的最小值是直線與平面所成角，即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線與平面所成角的正切值，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)算出直線與平面所成角的正切值即可.

如圖，設(shè)分別為棱和的中點(diǎn)，

則四棱錐的外接球即三棱柱的外接球，

因?yàn)槿�棱�?/span>為直三棱柱，

所以其外接球球心為上、下底面三角形外心和連線的中點(diǎn).

由題意，是平面內(nèi)的一條動(dòng)直線，所以的最小值是直線與平面所成角，即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線與平面所成角的正切值.

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則.

因?yàn)?/span>為等腰三角形，所以外接圓的直徑為，

則，從而.

如圖，以為原點(diǎn)，以的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，令，則，

因?yàn)?/span>，所以，則.

故選：D