Question

設(shè)，函數(shù).
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）當時，求函數(shù)在上的最小值.

Answer 1

（1）切線方程為；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的點斜式求出切線的方程；（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求出方程的根，對是否在定義域內(nèi)進行分類討論，從而確定函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（3）對是否在區(qū)間內(nèi)進行分類討論，從而確定函數(shù)的最小值，注意時，函數(shù)最小值的可能值為或，這時可對兩式的值作差確定大小，從而確定兩者的大小，從而確定函數(shù)在上的最小值.
試題解析：在區(qū)間上，，
（1）當時，，則切線方程為，即；
（2）①當時，，故函數(shù)為增函數(shù)，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
②當時，令，可得，
當時，；當，，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（3）①當時，即當時，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，
的最小值是；
②當時，即當時，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，
的最小值是；
③當時，即當時，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
所以的最小值產(chǎn)生于與之間，又，
當時，最小值為；
當時，最小值為，
綜上所述，當時，函數(shù)的最小值是，
當時，函數(shù)的最小值是.
考點：1.利用導(dǎo)數(shù)求切線方程；2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；3.函數(shù)的最值；4.分類討論.